علوم الرياضيات _ منوع

الأرقام في الحضارات القديمة
         يعود أقدم تاريخ مسجل للأرقام إلى عام 3400 قبل الميلاد في مصر. فقد كتب المصريون القدماء الأرقام في صورة خطوط وأشكال هندسية بسيطة، فالأرقام 1،2،3 كتبت على هيئة خطوط عمودية متجاورة، وكان الخط الأفقي عندهم يمثل الرقم (4) وكتبوا الثمانية على شكل خطين أفقيين أحدهما فوق الآخر، والعشرة على شكل حدوة، والألف على شكل زهرة اللوتس، والمائة على شكل لفافة مطوية، والعشرة آلاف على شكل إصبع معقوف والمائة ألف على شكل سمكة، والمليون على شكل رجل رافع يديه إلى أعلى (متعجبا)، والعشرة ملايين على شكل رأس إنسان. وحينما يكتب عدد بطريقة قدماء المصريين فإنه ترسم العلامات الدالة على الأرقام المكونة لهذا العدد، ولا يشترط الترتيب بالنسبة لموقع العشرات والمئات والآلاف، لأن لكل علامة قيمة محددة تقرأ أينما وضعت.
وفي عام 3000 قبل الميلاد استخدم سكان وادي الرافدين الأرقام، ودونوها في خانات تحفظ ترتيب الأعداد في الآحاد والعشرات والمئات. واستطاعوا التوصل إلى رمز خاص يمثل رقم (10). وقد أدت إضافة رمز هذا الرقم الثاني إلى إمكانية التعبير عن رقم (11) باستخدام رقمين بدلا من استخدام (11) رمزا منفردا والتعبير عن رقم (99) باستخدام (18) رمزا بدلا من (99) رمزا منفردا.
وكتب السومريون والبابليون الأرقام مستخدمين أشكالا مسمارية أفقية أو عمودية يحدد عددها ووضعها بالنسبة إلى بعضها البعض قيمة كل عدد من الأعداد.
كما استعملوا نظامين للترقيم أحدهما تجميعي بسيط مثل الذي كان سائدا في الأنظمة القديمة، وهو الذي مازال يستعمل في الترقيم بالأرقام الرومانية، واستخدموه في حالة الأعداد الأقل من (60). أما النظام الآخر في الترقيم فهو نظام ستيني واستخدم في كتابة الأعداد التي تزيد عن (60) وبخاصة في الأغراض الفلكية والعمليات الرياضية الأخرى.
وتختلف قيمة الرقم في النظام حسب موقعه، بحيث تأخذ أرقام الصف الأول قيمتها الذاتية، وتضرب في (60) وحدات الصف الثاني، وتضرب في +(60)2 وحدات الصف الثالث، وتضرب في +(60)3 وحدات الصف الرابع، وتضرب في +(60)4 وحدات الصف الخامس وهكذا. ففي نظام الكتابة المسمارية، كان الرقم المستخدم للتعبير عن العدد 1 هو نفس الرقم المستخدم في التعبير عن 60 ومضاعفاته، حيث كانت قيمة العدد تظهر من خلال السياق. وقد كان هذا الترتيب منطقيا من وجهة النظر الرياضية. وعلى هذا الأساس فإن العدد السومري ـ البابلي التالي يقرأ هكذا: (20 + 52 * 60 + 28 * 602 + 1 * 603 = 319940). أما العدد (16468) فيكتب بالطريقة البابلية على الصورة التالية: (28 + 34 * 60 + 4 * 602 = 16468).
واستخدم القدماء اليونانيون نظامين عدديين متوازيين. وقد وضع أولهما على أساس الحروف الأولى من أسماء الأرقام، حيث كان الحرفان pi يشيران إلى (5) بينما تشير delta إلى (10) أما (100) فيشار إليها بالرسم القديم للحرف H ويشار إلى (1000) بالحروف chi أما (10000) فيشار إليها بالحروف mu.
أما النظام الثاني الذي تم التوصل إليه حوالي القرن الثالث قبل الميلاد فقد استخدم كل حروف الأبجدية اليونانية بالإضافة إلى ثلاثة حروف أخرى مستعارة من اللغة الفينيقية واستخدمت كرموز للأرقام. وقد استخدمت أول تسعة حروف من الأبجدية اليونانية لتعبر عن الأرقام من (1) إلى (9) بينما عبرت التسعة حروف التالية عن العشرات من (10) إلى (90)، بينما عبرت آخر تسعة حروف عن المئات من (100) إلى (900). وكان يشار إلى الآلاف بوضع شرطة إلى يسار العدد المناسب، بينما عبر عن عشرات الآلاف بوضع الحرف المناسب فوق حرف M. ويتميز النظام اليوناني المتأخر بأنه يمكن التعبير عن الأرقام الكبيرة باستخدام أقل عدد من الرموز ولكن من عيوبه أنه يتطلب من المستخدم حفظ عدد من الرموز يصل إلى (27) رمزا.
ولقد استخدم الرومان حتى القرن الأول قبل الميلاد الحروف الأولى لكلمات الأعداد في كتابة الأعداد نفسها. واستخدم الرومان خطوطا عمودية تصف بجوار بعضها لترمز إلى الأعداد فالثمانية مثلا كانت تكتب على شكل ثمانية خطوط عمودية متجاورة، وتوحدت كل عشرة خطوط وحل محلها الرمز X وأصبحت الخمسة تكتب بهذا الشكل بعد أن حل نصف الشكل X. وأصبح الرمز I يعبر عن (1)، و V يعبر عن (5)، و X يعبر عن (10)، و L يعبر عن (50)، و C يعبر عن (100)، و D يعبر عن (500)، و M يعبر عن (1000) و Y يعبر عن (1000000) (حيث توضع شرطة صغيرة فوق العدد للتدليل على مضاعفة العدد بـ (1000).
وفي زمن لاحق قاموا بتبسيط هذا النظام بأن كتبوا الرقم أربعة هكذا IV ، والستة هكذا VI ، والتسعة IX ، والأحد عشر XI ، والرقم (49) IL ، والرقم (499) هكذا ID ، أي أن شكل الرقم I إذا كتب على يسار شكل لرقم معين فإنه يطرح، أما إذا كتب على يمينه فهو يضاف. وكانت كتابة الأرقام بالحروف الأبجدية سببا في تعقيد هذه العملية، حيث الفرق كبير بين كتابة الأرقام ونطقها، فإذا أخذنا الرقم (487) مثلا فإن الرومان كانوا ينطقونه أربعمائة وثمانون وسبعة، بينما يكتبونه هكذا: CCCCLXXXVII أي: مائة - مائة - مائة - مائة - خمسون - عشرة - عشرة - عشرة - خمسة ـ واحد ـ وا حد -.
وقد وضعت هذه الطريقة في كتابة الأعداد الكبيرة وإجراء العمليات الحسابية، فلكي يكتب المليون مثلا يجب أن يكتب الحرف M ألف مرة، وعلى الرغم من وضوح تلك الرموز وسلاستها عند التحدث بها، فقد كانت كتابتها صعبة وتقود إلى الخطأ، كما كانت العمليات الحسابية باستخدام هذه الأرقام شبه مستحيلة، وكان ذلك سببا في تأخر علم الحساب والجبر عند اليونان بالمقارنة مع الهندسة التي برعوا فيها بدرجة واضحة.
وما زالت الأرقام الرومانية تستخدم حتى الآن على الرغم من مرور أكثر من 2000 عام على التوصل إليها. ومع هذا، فإنه يوجد عيب وحيد في الرموز الرومانية ألا وهو أنها غير مناسبة في الحسابات الكتابية السريعة.
أما قدماء الهنود فقد تعاملوا مع الأعداد الكبيرة حيث وجدت أسماء خاصة لكل مضاعفات الرقم (10) حتى ثمانية أصفار. وتطور نظام العد بحيث وجدت في اللغة السنسكريتية القديمة أسماء لكل مضاعفات الرقم (10) حتى ثلاثة وعشرين صفرا، بعكس ما كان عـند اليونان حيث لا توجد أسماء يونانية للأعداد الأكثر من عشرة آلاف.
ولقد تميز الهنود في الرياضيات بمعرفتهم بالنظام العشري في الترقيم، وجعلهم علامات مستقلة لتدوين الأرقام. وكانوا يستعملون تسعة أشكال للرموز إلى الأعداد من الواحد إلى التسعة، ثم يعيدونها وتحت كل منها نقطة لتمثل الأعداد من العشرة إلى التسعين، وكذلك يعيدونها مرة ثالثة وتحت كل منها نقطتان للدلالة على الأعداد من المائة إلى التسعمائة، وعلى نفس القياس يزيدون النقاط تحت الرموز ليكتبوا به ا ما يشاءون من الأعداد، على أن الطريقة الهندية في كتابة الأعداد لم تكن واضحة تماما في بعض الحالات.
(ومن المرجح أنه كانت لديهم أكثر من طريقة لاستخدام الرموز وتمثيل الأرقام) فهي وإن استطاعت أن تكتب رقما يحتوي على الآلاف والمئات والعشرات والآحاد مثل الرقم (3952) حيث الثلاثة = ثلاثة آلاف، والتسعة = تسعمائة، والخمسة = خمسين، والاثنان واضحة في خانة الآحاد، فإنها لم تستطع أن تكتب بوضوح عددا يشتمل على الصفر مثل الرقم (408)، فكانوا يكتبون الأربعة والثمانية ويضعون علامة بينهما أو يتركون فراغا بين الرقمين، وأطلقوا على هذا الفراغ اسم سونيا بندا أو سونيا أو خا، وكان هذا الفراغ، مثل النقط تحت الرموز الدالة على الأعداد التي ذكرها ابن النديم، يسبب بعض المتاعب حيث ينسى الكاتب هذا الفراغ أو تلك النقط، أو قد يترك فراغا واحدا بدلا من فراغين متتاليين، وفي مرحلة لاحقة وضع الهنود في هذا الفراغ دائرة صغيرة أو نقطة.
ولقد عرف العرب قبل الإسلام نظام العدد واستخدموا في ذلك الحصى والعيدان وقد ترك ذلك أثرا لغويا في العربية وهو الإحصاء وهي من الحصى. ولقد كانت حساباتهم في هذا بسيطة لأنهم كانوا في هذا يتعاملون بألفاظ تعبر عن العدد تقريبا فذكروا البعض، والفئة، والنيف، والعقد وغيرها من المسميات.وكان لموقع بلاد العرب المتوسط بين حضارات الشرق وحضارات حوض البحر المتوسط والغرب أثر بالغ في دورهم الحضاري القديم وأدى إلى نشاط تجاري كبير سيطر فيه العرب على التجارة العالمية وقتذاك، واستوجب ذلك معرفتهم بمبادئ الحساب وتدوين الأرقام المرتبطة بالأعمال التجارية كحساب الأرباح والمكاييل والموازيين. واستعمل العرب في ذلك حروف الهجاء للدلالة على الأعداد، واستخدموا الحروف الأولى لكلمات الأعداد في كتابة الأعداد نفسها، فحرف (خ) يدل على الخمسة، وحرف (ع) يدل على العشرة، وحرف (م) يدل على المائة وهـكذا، ثم وسع العرب هذا النظام وطوروه بأن وضعوا الأرقام على ترتيب حروف اللغة العربية، وكان هذا النظام معمولا به في عدد من الأمم القديمة.
ظل العرب يستخدمون الترقيم الأبجدي ـ رغم صعوبته ـ إلى أن طوروا نظام الترقيم الهندي. ويعرف نظام الترقيم العربي القديم باسم حساب أبجد أو حساب الجمل، وفيه يرمز كل حرف إلى رقم خاص يدل عليه، وكان هناك بعض الفر وق في ترتيب حروف الهجاء ودلالاتها الرقمية بين أهل المشرق العربي وأهل المغرب العربي، ورتب أهل المشرق الحروف على النحو التالي:
أبجد هوز حطي كلمن سعفص قرشت ثقذ ضظغ
أما أهل المغرب فقد رتبوا الحروف على النحو التالي:
أبجد هوز حطي كلمن صعفض، قرست، ثخذ ظغش.
والجدول التالي يبين ترتيب الحروف ودلالتها الرقمية عند أهل المشرق:

 

       وهكذا فإنه يمكن كتابة أي رقم- سواء بـالنظام الشرقي أو الغربي- بغير حدود، ورغم ذلك فإن هذا الترقيم مثله مثل الترقيم اليوناني لا يساعد على إجراء العمليات الحسابية، كما أنه ليس تنازليا، وقد تركه العرب لصعوبته واستبدلوا به نظام الترقيم العشري الذي طوروه عن الهنود.
الأرقام العربية
       تعود قصة الأرقام العربية عند المسلمين إلى عام 154هـ / 771 م عندما وفد إلى بلاط الخليفة العباسي المنصور فلكي هندي، ومعه كتاب مشهور في الفلك والرياضيات هو سدهانتا لمؤلفه براهما جوبتا الذي وضعه في حوالي عام 6هـ / 628 م واستخدم فيه الأرقام التسعة والصفر كرقم عاشر. وقد أمر المنصور بترجمة الكتاب إلى اللغة العربية، وبأن يؤلف كتاب على نهجه يشرح للعرب سير الكواكب، وعهد بهذا العمل إلى الفلكي محمد بن إبراهيم الفزاري ، الذي ألف على نهجه كتابا أسماه السند هند الكبير واللفظة "سند هند" تعني باللغة الهندية (السنسكريتية) "الخلود".
وقد أخذ العرب بهذا الكتاب حتى عصر الخليفة المأمون. وفي عام 198هـ / 813 م استخدم الخوارزمي الأرقام الهندية في الأزياج ، ثم نشر في عام 210هـ / 825 م رسالة تعرف في اللاتينية باسم Algoritmi de numero Indorum "أي الخوارزمي عن الأرقام الهندية". وما لبث لفظ الجورثم أو الجورسم أن أصبح معناه في أوروبا في العصور الوسطى طريقة حسابية تقوم على النظام العشري. وعرفت هذه الأرقام أيضا بالأرقام الخوارزمية نسبة إلى الخوارزمي. ومن هذا الكتاب عرف المسلمون حساب الهنود، وأخذوا عنه نظام الترقيم، إذ وجدوه أفضل من حساب الجمل أو حساب أبجد المعمول به عندهم.
وكان لدى الهنود أشكال متعددة للأرقام، اختار العرب مجموعة منها وهذبوها وكونوا منها مجموعتين من الأرقام. وقد عرف الأول باسم الأرقام الهندية واستعمله العرب في المشرق العربي، وعرف الثاني باسم الأرقام العربية واستعمله العرب في أسبانيا والمغرب العربي. أما الطريقة المشرقية التي استعملها عرب بغداد فقد تطورت قليلا حتى أصبحت الأرقام التي تستعمل الآن في مصر والعراق ولبنان وبلاد العرب. وهي على الشكل التالي:
1 - الأرقام الهندية 9،1,2,3,4,5,6,7,8
2 - الأرقام العربية
 

       وتعرف الأرقام العربية كذلك بالأرقام الغبارية. وسميت هذه الأرقام بالغبارية لأنها كانت تكتب في بادئ الأمر بالإصبع أو بقلم من البوص على لوح أو منضدة مغطاة بطبقة رقيقة من التراب. وهي التي انتشر استعمالها في شمال أفريقيا والأندلس ودخلت إلى أوروبا عن طريق الأندلس ومن خلال المعاملات التجارية والرحلات بين الشرق والغرب، فقد وفد إلى بلاط الخلفاء العباسيين في بغداد أيام هارون الرشيد والمأمون سيل من الرحالة والزوار الذين قدموا إلى تلك المدينة العالمية من جهات نائية، وأشاعوا جوا عالميا فيها.
وتتميز الأرقام العربية (الغبارية) أنها مرتبة على أساس عدد الزوايا التي يضمها كل رقم، فالرقم واحد يتضمن زاوية واحدة، ورقم اثنان يتضمن زاويتين، والرقم ثلاثة يتضمن ثلاث زوايا - إلخ كما بالشكل التالي:

 

     ثم دخل بعض التعديل على هذه الأشكال فأصبحت بالشكل المعروف.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
وأما سلسلة الأرقام الأخرى (الهندية) فتستخدم في أغلب الدول العربية والإسلامية، وقد حورها العرب من أشكال هندية عديدة، وقد خضعت الأشكال الدالة على الحروف إلى سلسلة من التعديلات عبر القرون حتى ظهرت الطباعة في القرن الخامس عشر فطبعت الأرقام بأشكالها الحالية تقريبا ومن ثم لم تتعرض هذه الأشكال لتغيرات كبيرة منذ ذلك التاريخ.
المصدر : موقع الإسلام

      باليونانية وهو الحرف السادس عشر من الأبجدية اليونانية. التي يرجع تاريخها إلى 1000 - 900 عام قبل الميلاد. وقد استعمل قدماء اليونانيين هذا الحرف أيضا للدلالة على الرقم 5 .
ويستخدم الثابت (ط) في الرياضيات كرمز لحساب نسبة محيط الدائرة إلى قطرها. وقد عرف تاريخ الرياضيات عدة محاولات لحساب قيمة الثابت (ط) فأكد الرياضي اليوناني أرشميدس أن قيمة هذا الثابت تقع بين (7 ) و (71/10 3 ) وقد قام برسم مضلع ذي (96) ضلعا لتحقيق هذا الغرض.
وفي القرن الثاني الهجري / الثامن الميلادي قام العالم الصيني شانج هونج عام 125م بحساب قيمة حقيقة للرمز (ط) وأكد أنها تساوي

 

    وفي القرن العاشر الميلادي / الرابع الميلادي توصل العالم الصيني شونج شينج عام 470م إلى قيمة لهذا الثابت وهي (3,1415926) وذلك بعد أن استخدم دائرة قطرها عشرة أقدام لهذا الغرض. وفي القرن السادس الميلادي توصل الرياضي الهندي أربهاتا الصغير عام 510م إلى قيمة أخرى لهذا الرمز(3,1416).
أما أدق قيمة للرمز (ط) فهي التي توصل إليها العالم المسلم  البيروني في القرن الرابع الهجري وهي (14174660،3)، وذلك عن طريق رسم مضلع منتظم داخل الدائرة. ثم جاء الكاشي في القرن التاسع الهجري وتوصل إلى القيمة (1415926535898732،3) وهي أقرب ما تكون عليه قيمة هذا الرمز الآن.
ومن الجدير بالذكر أن نقول أن الثابت (ط) عدد أصم بمعنى أن لديه عدد لا نهائي من المراتب العشرية، إلا أنه يمكن حسابه بدقة كبيرة باستخدام المتسلسلة:

 

      وهذا ما تمكنت منه أجهزة الحاسب الآلي في العصر الحديث فقد تم حساب قيمة الثابت (ط) حسابا دقيقا إلى أقرب 100 مليون مرتبة عشرية، على الرغم من أن هذا ليس له قيمة عملية.
 
المصدر : موقع الإسلام

الحساب الهوائي

       قسم العرب الحساب العملي إلى قسمين أساسيين: الحساب الغباري، والحساب الهوائي. والحساب الغباري هو الحساب الذي يحتاج استعماله إلى أدوات، أما الحساب الهوائي فهو الذي لا يحتاج في استعماله إلى أدوات. وقد اهتم العلماء المسلمون بالحساب الهوائي اهتماما خاصا لما يعكسه من سرعة بديهة في حل مسائل الحساب العملي الذي تحتاجه الحياة العامة من التجارة وغيرها، وللحساب الهوائي قوانين مذكورة في كتب الحساب العربية.
ومن أهم كتب الحساب العربية التي اهتمت بالحساب الهوائي كتابان للعالم المسلم أصبغ المهري ، وهي: الكامل في الحساب الهوائي ، وكتاب: الكافي في الحساب الهوائي ، ولكي تتضح أبسط الطرق للحساب الهوائي نقوم بإجراء عملية جمع رقمين هما: 281 +275 وتكون خطوات الحل كالآتي:
200+200=400
80+70=150
وتضاف إلى 400 فيكون المجموع هو 550
وجمع 1+5=6
ثم تضاف إلى 550 فيكون المجموع 655 .

 
المصدر : موقع الإسلام

       هي علامات واختصارات متعددة تستخدم في الرياضيات للإشارة إلى الكميات والعلاقات والعمليات الحسابية بهدف تسهيل هذه العمليات الحسابية وذلك لأن العمليات الرياضية كانت أمرا شاقا منذ قديم الأزل لنقص الرموز المناسبة لهذه العمليات. فقد كانت هذه العمليات الحسابية تكتب كاملة بالحروف والكلمات أو يشار إليها عن طريق الاختصارات.
        ولقد عرفت بعض الرموز الرياضية عند المصريين القدماء، فكان لديهم رموز للجمع والتساوي كما عرفت فكرة الرموز الرياضية لدى كل من اليونانيين والهنود وكان للعرب رموز للتساوي وللمجاهيل الرياضية.
ولكن السبق الحقيقي في وضع أسس الرموز الرياضية يعود إلى القلصادي في القرن التاسع الهجري / الخامس عشر الميلادي، فقد استنبط علامة وضع الجذر التربيعي بعد أن احتار علماء الحساب في أمرها زمنا طويلا. كما وضع الرموز الجبرية بدلا من الإشارات الجبرية مثل رمز (جـ) للجذر، و(ش) للشيء، و(م) للمال، و(ك) للكعب، و(ل) لعلامة يساوي، وثلاث نقاط للنسبة. وكان أول من رسم الكسور بشكلها المتعارف عليه الآن فقدم بذلك أكبر إنجاز في مجال الجبر.
  وقد سجل القلصادي رموزه هذه في كتاب كشف الأسرار في علم الغبار وعبر عن المعادلة (س2 + 9 س =39 ) على النحو التالي (سم9س ل39). وبعد قرن من الزمان تمكن العالم الفرنسي فرانسوا فيتي من الاطلاع على كتاب القلصادي هذا فاستفاد من فكرة استعمال الرموز الرياضية ووضع نظاما حديثا لها، وإليه نسب هذا الابتكار فيما بعد.
أما علماء الجبر الإنجليز والألمان فقد كانوا أول من استخدموا الرموز الحالية في الجمع والطرح، حيث كان العالم الألماني جوهان ويدمان أول من استخدم علامتي الجمع (+) والطرح (-) عام 894هـ / 1489 م كما كان عالم الرياضيات الإنجليزي ويليام أوتريد أول من استخدم رمز ( * ) ليعبر عن "عدة مرات". أما الرياضي الألماني جوتفرايد ليبنيز فقد استخدم نقطة (.) للدلالة على الضرب. وفي عام 1046هـ / 1637 م استخدم الرياضي الفرنسي رينيه ديكارت التقارب. وفي عام 1099هـ / 1688 م استخدم ليبنيز علامة (1) للدلالة على الضرب وعلامة (ب) للدلالة على القسمة. وقد كان الهنود يكتبون القاسم تحت المقسوم عليه. أما ليبنيز فقد استخدم الشكل التقليدي (أ: ب). وقد أشاع ديكارت استخدام الرمز (س ن) ليدل على الرفع، أما الرياضي الإنجليزي جون واليس فقد عرف الأس السالب وكان أول من استخدم رمزا ليدل على اللانهائي. وقد اخترع رمز التساوي الرياضي الإنجليزي روبيرت ريكورد، أما الرمزان (>) أكبر من و(<) أصغر من فقد اخترعهما الرياضي الإنجليزي توماس هاريوت. وقد ابتكر ليبينز رموز dx في حساب التفاضل. كما ابتكر أيضا رمزا ليدل على التساوي حسبما يستخدم في الهندسة.

 
المصدر : موقع الإسلام

الصفر

        رمز رياضي يشير إلى العدد (لا شيء) ويعبر عنه باستخدام العلامة (0). وله مجموعة من الخصائص الرياضية الأساسية وهي: س + 0 = س، س - 0 = س، س * 0 = 0 حيث ترمز (س) لأي عدد. وفي حالة قسمة العدد س على(0) يكون الناتج غير معروف، حيث ترمز (س) لأي رقم غير الصفر، إذ لا يمكن تعريف القسمة على الصفر، ومن ثم فهي عملية غير ممكنة.
   وفي نظام الأعداد الحقيقية، فإن الصفر هو الرقم الوحيد الذي لا يعد سالبا أو موجبا، بل هو يمثل الحد بين الأرقام السالبة والموجبة. وهذه السمة تجعل الصفر نقطة البداية الطبيعية أو الأصل في أي تدريج مثل محاور الإحداثيات أو الترموميتر.
      ويعود اختراع الصفر إلى آلاف السنين، إلا أنه في البداية لم يستخدم رمزا لعدد فقد تأخر استخدامه كرقم في الحساب عن الأرقام الأخرى بمدة طويلة. فقد اخترع الصفر أولا كمميز بين أرقام مثل 123، 1203، 1230، 1023. وفي القرن الأول الميلادي، استخدم المايانيون شكلا بيضويا صغيرا يحتوي قوس داخلي ليدل على الصفر. وبعد مضي خمسة قرون من هذا التاريخ، بدأ الهنود في استخدام دائرة أو نقطة كرمز للصفر، وبعد ذلك ترك رسم النقطة واقتصروا على الدائرة. وقد كان هؤلاء الرياضيون الهنود يكتبون الأرقام في أعمدة وقد استخدموا العمود الفارغ ليعبر عن الصفر.
        وكانت الكلمة الهندية التي تعني "صفر" هي (سونيا) ومعناها "خالي أو فارغ". وقد ترجمت الكلمة ومثلت صوتيا في اللغة العربية بحيث أصبحت "صفر". وبعد قرنين ونصف من الزمان أخذ ليوناردو دافنشي عن العرب طريقتهم في كتابة الأرقام من اليمين إلى اليسار، كذلك أخذ عنهم الصفر وكتبه باللاتينية Cephir . وفي إيطاليا تحولت الكلمة إلى Zefro ثم Zero . وفي فرنسا قرأها الناس Chiffre بمعنى الغريب، ثم تحورت الكلمة في بريطانيا إلى Cipher ثم إلى Zero ، وفي ألمانيا نطقها الناس Ziffer .
      وهكذا تخلصت أوروبا من نظام الأعداد الروماني بفضل الرياضيين المسلمين، إذ أصبحت قيمة العدد الواحد تتغير في هذا النظام وفق مكانه في الآحاد أو العشرات أو المئات. وهو ما كان له بالغ الأثر في اختصار العمليات الحسابية فيما بعد.
 
المصدر : موقع الإسلام

      تشمل العمليات الحسابية في كتب علم الحساب العربية التي صنفها علماء الحساب المسلمون عبر سبعمائة عام في أبواب في فصول ست عمليات: الأولى في الجمع والتضعيف. والثانية في التنصيف. والثالثة في التفريق (أي الطرح). والرابعة في الضرب بالشبكة ، و الضرب التصالبي . والخامسة في القسمة. والسادسة في التجذير واستخراج الجذور ، كما بحثوا في النسبة لمعرفة قدر المنسوب من المنسوب إليه، وحينئذ يكون الخارج هو أجزاء المنسوب إليه، كما نقول: الخمسة نصف العشرة والسدس نصف الثلث، وأيضا لمعرفة نصيب الواحد العام عند تفريق المنسوب إلى أجزاء المنسوب إليه بالسوية، فيكون الخارج حينئذ هو أجزاء الواحد. وقد قسم علماء الحساب المسلمون هذه النسبة إلى ثلاثة أنواع هي: النسبة العددية في علم الحساب، والنسبة الهندسية في علم الهندسة المستوية، والنسبة التأليفية في علم الموسيقى. وبهذه النسبة الأخيرة استخرج الرياضيون من علماء الموسيقى الأنغام والألحان، وكذلك توصل علماء الحساب المسلمون في عملياتهم الحسابية إلى إيجاد المجهول بواسطة طريقة التناسب وحددوا موضوعاتها. وساقوا بعض خاصيات التناسب فيما يتعلق بالأبعاد والأثقال .
       وقد استخدم علماء الرياضيات المسلمون ومنهم: أبو جعفر الخازن ، و البتاني ، و ابن بدر مبادئ الحساب وقوانينه وأجروا بها عملياتهم الحسابية في حل المسائل الطبيعية، و حساب المثلثات ، والفلك، وذلك يدل على أن العمليات الحسابية عند العرب لم تتوقف عند الجانب العملي في حياة الناس، وإنما امتدت أيضا إلى الإبداعات النظرية التي استندت إليها الحضارة الإسلامية .
       وبدأ علماء الحساب العرب عملياتهم الحسابية لحل المسائل الحسابية المتعلقة بالكسور الاعتيادية والعشرية، وابتكروا في ذلك طرقا لا تختلف عن الطرق الحسابية الحديثة ، كما بحثوا في استخراج المجهولات بالأربعة المتناسبة، وبطريقة العمل بالعكس أي طريقة التحليل والتعاكس، وبطريقة الجبر والمقابلة، و طريقة الخطأين . وقد أثرت مؤلفات علماء الرياضيات المسلمين التي وضعوها في العمليات الحسابية على الحركة العلمية في الغرب. ومن أهم هذه المؤلفات كتاب في علم الحساب - للخوارزمي وقد ضاع أصله العربي بعد أن كان قد ترجم إلى اللاتينية ، ثم ترجم هذا الكتاب من الل اتينية إلى العربية. وأيضا مؤلفات سنان بن الفتح الحراني .
        وقد استخدم العلماء المسلمون العمليات الحسابية استخدامات شتى، في ثمانية فنون من فنون الحساب العملي والنظري، ومنها: حساب التخت والميل، وحساب الخطأين، وحساب الدور والوصايا، وحساب الدرهم والدينار، وحساب الفرائض (المواريث)، و الحساب الهوائي ، وحساب العقود (عقود الأصابع)، وحساب النجوم لمعرفة قوانين حساب الدرج والدقائق والثواني والثوالث، بالضرب والقسمة والتجذير، ومراتبها في الصعود والنزول. وفي كل هذه الحسابات شملت أبحاث العلماء المسلمين في هذه الحسابات ما يتعلق منها بحساب الأرقام الصحيحة، وما يتعلق منها بحساب الكسور.
     وقد امتازت مؤلفات العمليات الحسابية للعلماء المسلمين بكثرة الأمثلة والتمارين ، وبخاصة الأمثلة العملية التي كان يقتضيها واقع العصر آنذاك في المعاملات التجارية من بيع وشراء ومقايضة وإرث، وكذلك توزيع الرواتب على الجيوش والبريد واللحاق به، وغيرها من الأمور العملية التي تتطلب أعمالا حسابية، وهي أمور يحتاج إليها جميع الناس على تعدد طبقاتهم واختلاف آرائهم ولغاتهم .
 
المصدر : موقع الإسلام

         هي الأعداد غير الصحيحة أو هي طريقة معينة للتعبير عن مثل هذه الأعداد. فالعدد "نصف" يعبر عنه بهذا الشكل (2/1) ويطلق عليه كسر اعتيادي. ويطلق على الرقم السفلي - وهو في هذه الحالة (2) - "المقام" وهو يعبر عن عدد المقاطع التي يقسم عليها العدد الإجمالي. أما الرقم العلوي ويطلق عليه "البسط" - وهو في هذه الحالة (1) - فإنه يعبر عن عدد المقاطع الموجودة في هذا الكسر الاعتيادي.
     هناك كسور اعتيادية بسيطة أخرى مثل ثلث (3/1) وثلثين (3/2) وربع (4/1) وثلاثة أرباع (4/3). وعادة ما تختصر الكسور الاعتيادية إلى أقل صيغة لها بقسمة البسط والمقام على أي عامل مشترك بينهما. فعلى سبيل المثال، يعاد صياغة الكسر (16/6) إلى (8/3) وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على (2). ومن ثم لا يستخدم الكسر (4/2) مثلا لأنه هو بالضبط القيمة (2/1). ومن الممكن أيضا استخدام الكسور الأكبر من واحد صحيح مثل (4/5) وهذه تسمى كسور معتلة. ويمكن كذلك اختصارها إلى أقرب رقم صحيح وكسر.
وهناك صورة أخرى للتعبير عن هذه الأعداد وهي صورة الكسور العشرية فيعبر عن العدد بقيمته بالنسبة للعدد 10 أو 100 أو 1000 فالعدد غير الصحيح نصف يعبر عنه بهذا الشكل (5.) ويعود الفضل في اكتشاف فكرة الكسور العشرية للرياضي المسلم الكاشي الذي توصل إليها في القرن الثامن الهجري / الرابع عشر الميلادي وظلت مستخدمة بالشكل الذي تحدث عنه حتى الآن. كما أهدى الكاشي إلى البشرية وعلم الحساب فكرة تحويل الكسور الاعتيادية إلى كسور عشرية. ويظهر ذلك في كتابه مفتاح الحساب الذي حوى للمرة الأولى على الكثير من المسائل التي تستعمل فيها الكسور العشرية. كما استخدم الفاصلة التي يسرت الحساب وأصبحت بعد ذلك ذات شأن عظيم في الآلات الحاسبة الحديثة.
     ومع زيادة استخدام النظام المتري في كل أنحاء العالم، زاد استخدام الكسور العشرية مثل 0.5 و3.2 بالمقارنة بالكسور الاعتيادية لعدة أغراض على الرغم من أنه لا يمكن حساب الكسور العشرية البسيطة في استخدامات الحياة اليومية.
 
المصدر : موقع الإسلام

     طريقة رياضية لحل مسألة باستخدام أسلوب حسابي أبسط بشكل متكرر. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك عملية القسمة المطولة في الحساب.
     ولقد جاء علم اللوغاريتمات متأخرا عن معظم العلوم الرياضية الأولية باعتباره معتمدا عليها. وحيث أن الفكرة الأساسية لهذا العلم تعتمد على تحويل عمليتي الضرب والقسمة المعقدتين إلى عمليتي جمع وطرح، فلقد كان الوصول إليها متزامنا من عدة أوجه. ففي القرن الخامس الهجري / الحادي عشر الميلادي وضع ابن يونس قانونه المعروف في علم حساب المثلثات الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع. وكان القانون على الصيغة التالية:
جتا أ جتا ب =2 / 1 [جتا (أ + ب ) + جتا ( أ- ب)]
وهو الذي يقضي بتحويل عملية الضرب إلى عملية جمع، فكان بذلك واضعا أول حجر في تطوير علم اللوغاريتمات.
وفي القرن العاشر الهجري / السادس عشر الميلادي توصل ابن حمزة المغربي إلى إيجاد العلاقة بين المتواليتين الحسابية والهندسية. وقد شكلت نتائجه هذه حجر الأساس الذي اعتمد عليه العالم نابير الأسكتلندي لتطوير علم اللوغاريتمات.
     ويطلق مصطلح اللوغاريتمات الآن على أنواع عديدة من حل المشاكل باستخدام سلسلة من الخطوات الميكانيكية كما هو الحال في تنصيب برنامج كمبيوتر. وقد تعرض هذه السلسلة في مخطط مسار البرنامج بحيث يسهل اتباع الخطوات الواردة بها.
      وكما هو الحال في اللوغاريتمات المستخدمة في الحساب، تتراوح اللوغاريتمات المستخدمة في الكمبيوتر بين البساطة والتعقيد الشديد، إلا أنه يجب تحديد المهمة التي ينبغي للوغاريتمات أن تؤديها على أي حال من الأحوال، بمعنى أنه قد يحتوي التعريف على مصطلحات رياضية أو منطقية أو تجميع للبيانات أو التعليمات المكتوبة، ولكن يجب أن تكون المهمة المطلوبة ذاتها مذكورة بطريقة أو بأخرى. وباستخدام مصطلحات الكمبيوتر المعتادة، فإن هذا يعني أنه يجب أن تكون اللوغاريتمات قابلة للبرمجة حتى ولو ثبت أن المهام نفسها لا يمكن الوصول فيها لحل.
وفي أجهزة الكمبيوتر المركب بها دائرة كمبيوتر دقيقة، تعتبر هذه الدائرة نوعا من أنواع اللوغاريتمات. وحيث أن أجهزة الكمبيوتر تزداد تعقيدا ، فإن عددا أكبر وأكبر من لوغاريتمات برامج الكمبيوتر تأخذ شكل ما يعرف باسم البرامج التي تتحكم في الأجهزة، بمعنى أنها تصبح جزءا من دائرة الكمبيوتر الأساسية أو أنها تكون ملحقات ترفق بالجهاز بسهولة أو أنها تكون بمفردها في أجهزة خاصة مثل ماكينات جدول الرواتب في المكاتب. والآن هناك أنواع كثيرة مختلفة من لوغاريتمات البرامج التطبيقية كما أن نظما متقدمة جدا مثل لوغاريتمات الذكاء الاصطناعي قد تصبح من الأمور الشائعة في المستقبل.
 
المصدر : موقع الإسلام

     تعرف المتواليات -في علم الرياضيات- أنها تتابع منظم لأرقام أو لكميات أخرى وناتج مثل هذا التتابع. ويعبر عن المتتالية على النحو التالي:

 

     حيث تعبر (أ) عن الأرقام أو الكميات سواء كانت مختلفة أم لا، فتكون (أ1) هي الحد الأول بينما (أ2) هي الحد الثاني وهلم جرا. وإذا كانت العبارة تحتوي على حد أخير، فإن المتوالية تكون نهائية، أما إذا كانت لا تحتوي على حد أخير، فإنها تكون لا نهائية.
وتحدد المتوالية أو تعرف إذا كانت هناك قاعدة تحدد الحد النوني لكل عدد موجب، وقد تكون هذه القاعدة صيغة للحد النوني. فعلى سبيل المثال، إن كل الأعداد الصحيحة الموجبة -في ترتيبها الطبيعي- تشكل متوالية لا نهائية تعرف بالصيغة.

 
.
كما أن الصيغة

 
.
       تحدد المتوالية (1 4، 9، .16، ..) وتكون قاعدة البدء بـ 0، 1 ثم جعل كل حد بمثابة مجموع الحدين السابقين يحدد المتوالية 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، ...
وهناك أنواع هامة من المتواليات ألا وهي المتواليات الحسابية حيث يكون الفرق بين الحدود المتوالية ثابتا، والمتواليات الهندسية حيث تكون نسب المحدود المتوالية ثابتة. ويشير المصطلح "متسلسلة" إلى حاصل جمع

 

    من حدود المتوالية. وتكون المتسلسلة إما نهائية كما في الحالة الأولى أو لا نهائية كما في الثانية، ويعتمد هذا على ما إذا كانت المتوالية المناظرة لها نهائية أو لا نهائية. هذا وتسمى المتوالية:

 

متتالية المجموع الجزئي للمتسلسلة:

 

      كما أن المتسلسلة تتقارب أو تتباعد حسبما تتقارب أو تتباعد متتالية المجموع الجزئي.
أما المتسلسلة ذات الحدود الثابتة فهي تلك المتسلسلة التي تكون فيها الحدود أرقاما ، ومتوالية الدوال هي تلك المتوالية التي تكون فيها الحدود عبارة عن دوال لمتغير واحد أو أكثر. وعلى وجه الخصوص، فإن متتالية القوة تكون على النحو التالي:

 

       حيث يكون كل من (أ) و (ج) ثوابت. وفي حالة متوالية القوة، تكمن المشكلة في كيفية وصف ماهية قيم (س) التي تتقارب منها. فإذا كانت متوالية تتقارب نحو (س)، فإن مجموعة السينات كلها التي تتقارب نحوها تتكون من نقطة أو مجال متصل.
توصل العلماء المسلمون بدراستهم الأعداد الطبيعية إلى قوانين عدة في مجموع الأعداد الطبيعية المرفوعة إلى القوة الأولى والثانية والثالثة والرابعة. فقد توصل الكرجي في القرن الخامس الهجري / الحادي عشر الميلادي إلى قوانين عامة تتعلق بإيجاد مجموع مربعات ومكعبات الأعداد التي عددها (ن). وهي كما وضعها في كتابه الفخري في الحساب كما يلي:

 

        أما ابن الهيثم فقد توصل إلى مجموع مسلسلتي الأس الثالث والرابع للأعداد الطبيعية عندما كان يقوم بحساب حجم الجسم الدوراني الناتج عن دوران قطعة قائمة من قطع مكافئ حول محور عمودي على محور تماثلها، فتوصل إلى المتسلسلات التالية:

 

       وفي القرن التاسع / الخامس عشر الميلادي للهجرة توصل الكاشي إلى قانون عام لمجموع الأعداد الطبيعية المرفوعة إلى القوة الرابعة. ووضعها في كتابه مفتاح الحساب كما يلي:

 

      هذا وتعتبر كل من النظرية وتطبيقات المتتاليات اللانهائية أمرا مهما في كل فرع من فروع الرياضيات البحتة والتطبيقية.
المصدر : موقع الإسلام

       هي تساوي بين تعبيرين، وتستخدم في كل فروع الرياضيات البحتة والتطبيقية وكذا في علوم الأحياء والعلوم الاجتماعية. وعادة ما تحتوي المعادلة على مجهول واحد أو أكثر وهذه المجاهيل يطلق عليها المتغيرات أو الكميات الغير معينة. ومن المعتاد أن يشار إلى هذه المجاهيل بحروف أو رموز أخرى مثل (س). وتوصف المعادلة بأنها ذات متغير واحد أو متغيرين أو ثلاثة أو أكثر حسب عدد المتغيرات التي تحتويها.
ويطلق على المعادلة أنها متحققة أو حقيقية بالنسبة لقيم معينة من المتغيرات عندما يتم استبدال المتغيرات بهذه القيم، فإذا كانت العبارة الموجودة على الجانب الأيسر من علامة التساوي مساوية لتلك العبارة الموجودة على الجانب الأيمن. فعلى سبيل المثال، تكون المعادلة (2 س + 5 = 13) معادلة متحققة عندما تكون (س = 4). ويطلق على حل المعادلة في متغير واحد "جذر المعادلة".
       ويعد الخوارزمي من علماء القرنين الثاني والثالث الهجريين / التاسع الميلادي هو أول من يشار إليهم بالبنان في تعريف المعادلة. وإليه ينسب تأسيس علم الجبر. ولقد عرف الخوارزمي جميع عناصر المعادلة الجبرية كما نفهمها اليوم. والجبر عند الخوارزمي يعني نقل الحدود السالبة من مكانها في أحد طرفي المعادلة الجبرية إلى الطرف الآخر، أما المقابلة فتعني حذف الحدود المتشابهة في الطرفين. مثال ذلك المعادلة الجبرية:
س2 + 2س - 5 = س
تصبح بالجبر س2 + 2س = س + 5
وتصبح بالمقابلة س2 + س = 5
ولقد قدم الخوارزمي الأصناف الستة للمعادلات كما يلي:
أ س = ب س، أ س2 = جـ، ب س = جـ
أ س2 + ب س = جـ، أ س2 + جـ = ب س، أ س2 = ب س + جـ
ولقد برهن الخوارزمي على مختلف صيغ الحلول عن طريق تساوي المساحات. ومن أهم المسائل الستة الجبرية التي نسب إليها الخوارزمي كل ما يعمل من حساب جبر ومقابلة هي برهان المعادلة التي عرفت باسمه (معادلة الخوارزمي) وهي على الصورة التالية:
س2 + 10 س = 39
        ولقد رسم الخوارزمي مربع (أ ب جـ د) طول ضلعه (س) فتكون مساحته (س2) ثم نصف معامل (س) فصار خمسة ورسم من ذلك الضلعين (د ي) = (ب ف) = (5)، فتكون مساحة المربع (أ ب جـ د) والمستطيلين (د ج هـ ي)، (ب ج ط ف) تبلغ (39). ويبقى إ لى تمام المربع الأكبر مساحة مربعة مقدارها (25). وبذلك تمكن الخوارزمي من حل المعادلة بطريقة إكمال المربع وإضافة (25) إلى طرفي المعادلة فتصبح كما يلي:
س2 + 10 س + 25 = 39 + 25 = 64
وينتج من ذلك أن:
(س + 5)2 = 64 أي أن س + 5 = 8 وتكون س = 3
ولقد جاء الرياضيون المسلمون من بعد الخوارزمي وعملوا على تطوير معادلاته وتعميمها، فقدم عمر الخيام حلا لمعادلة الدرجة الثانية على الصورة:
س2 + ب س = جـ
هو س2 = 4 / 1 ب2 + جـ - 2 / 1 ب
وتبعا لذلك يكون حل معادلة الخوارزمي كما يلي:
س2 = 4 / 1 (100) + 39 - 2 / 1 (10) = 25 + 39 - 5 = 64 - 5 = 3
ولقد جاء الكرجي من بعد الخيام وطور حل المعادلة حتى توصل إلى القانون العام المعروف حاليا لحل المعادلات من الدرجة الثانية.
       كما برع عمر الخيام في تصنيف وحل المعادلات ذات الدرجة الثالثة والرابعة. فعالج المعادلات التكعيبية معالجة منهجية منظمة، حل فيها ثلاثة عشر نوعا من المعادلات بطريقة هندسية، واستخرج منها الجذور لكل درجة من هذه الدرجات.
وتوصل إلى نظرية ذات الحدين المرفوعة إلى أس أي عدد صحيح موجب. بينما أكمل الكاشي هذا الابتكار بأن طور خواص معاملاتها إلى أي أس حقيقي كسر أو عدد صحيح أو سالب.
وفي عام 1545م، نشر الرياضي الإيطالي جيرولامو كاردانو حلا جبريا للمعادلات التكعيبية من حيث معاملاتها وقد طور هذا الحل نيكول تارتاجليا. ثم توصل تلميذ كاردانو الذي يسمى لودوفيكو فيراري بالتعاون مع تارتاجليا إلى حل جبري لمعادلات الدرجة الرابعة.
       وفي عام 1038هـ / 1629 م، تعرف الرياضي الفرنسي ألبيرت جيرارد على كل من الجذور السالبة والمعقدة للمعادلات ومن ثم كان قادرا على إكمال النظرة الجزئية التي ابتدأها فرانسوا فيتي والمتعلقة بالعلاقة بين جذور المعادلة الجبرية ومعاملاتها.
أما في عام 1044هـ / 1635 م، فقد نشر الفيلسوف والرياضي الفرنسي رينيه ديكارت كتابا حول نظرية المعادلات وقد احتوى هذا الكتاب على قاعدة علامات عدد الجذور الموجبة والسالبة لمعادلة. وبعد مضي عدة عقود، توصل الرياضي والفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن إلى طريقة تكرارية لإيجاد جذور المعادلات، وتعرف هذه الطريقة الآن باسم ط ريقة نيوتن- رافسون.
وفي نهاية القرن الثامن عشر، أثبت الرياضي الألماني كارل فريدريش جاوس أن كل معادلة حدودية لها جذر واحد على الأقل. ثم خطا الرياضي والفلكي الفرنسي خطوات فسيحة إلى إعادة ترتيب جذور المعادلة لدراسة حلولها. وقد أدت هذه الفكرة المثمرة من خلال العمل الذي قام به كل من الرياضي الإيطالي باولو روفيني والرياضي النرويجي نيلس أبيل والرياضي الفرنسي جالويس إلى التوصل إلى نظرية كاملة عن الحدوديات أوضحت أنه يمكن حل الحدودية من خلال صيغة جبرية عامة إذا كانت درجات الحدودية تقل عن خمسة. كما كان العمل الذي قام به جالويس قد أجاب على مسألتين مشهورتين ترجعان إلى عصر اليونانيين القدماء: فقد أوضح جالويس بأنه من خلال استخدام فرجار وحرف مستقيم، من المستحيل تقسيم بعض الزوايا إلى ثلاث زوايا متساوية ومن المستحيل رسم مكعب يبلغ حجمه ضعف حجم مكعب معلوم.
 
المصدر : موقع الإسلام

       مفرد موازين ميزان ويقصد بها مقاييس الأطوال والمساحات. ولم يحدث في التاريخ الإسلامي توحيد لنظام الموازين والمكاييل، فكان الاختلاف هو السمة المميزة في البلدان الإسلامية، على أن بعض الحكام المسلمين قد اتجهوا إلى توحيد نظام المقاييس في المناطق التابعة لهم، ومنهم عضد الدولة البويهي، والخلفاء الفاطميون، وحسن التركمان. ومن بين أسماء وحدات الأوزان والمكاييل الإسلامية: الرطل وهو لفظ منقول عن اليونانية، والقنطار وهو لفظ منقول عن اللاتينية، والقفيز ويدل على مكيال وهو لفظ منقول عن الفارسية، وحين فتح المسلمون بلاد الشرق الأدنى كانت كل تلك الأسماء مستخدمة ولكن بقيم مختلفة. فالمُد كان يساوي في العراق حوالي 1,05 رطلا ، وفي سوريا حوالي 3,673 رطلا ، وفي مصر حوالي 2,50 رطلا . وكون وحدة معينة تستخدم بقيم مختلفة كانت سمة مميزة بين البلدان الإسلامية بل داخل البلد الواحد كأن تكون قيمة الوحدة في العاصمة غير قيمتها في الأقاليم. كما قد يكون اختلاف قيمة الوحدة تبعا للشيء الموزون، فرطل اللحم مثلا في مصر العليا كانت قيمته تختلف عن بقية البضائع، وكانت للحبوب مكاييل تختلف عن مكاييل السوائل. كما كان لبعض السوائل كزيت الزيتون وحدات      وزن خاصة به. كما وجد اتجاه لاستبدال الوحدات الأصغر بوحدات أكبر.
       ورغم التأثير المتبادل بين الأقاليم الإسلامية في الموازين ظلت بلاد فارس وحدها مختلفة عن الدول الإسلامية العربية رغم وجود شيء من التداخل بينهما. ولقد تمخض عن التأثير المتبادل في البلاد التي سبق خضوعها للدولة البيزنطية نظامان للموازين في كافة الأقطار الإسلامية: الأول ستوني، والثاني عشري. وعلى ذلك فلم ينتشر نظام الجزيرة العربية في الموازين في البلدان الإسلامية المفتوحة، فالمد ، وهو الوحدة الرئيسية في بغداد، والصاع ، وهو وحدة أكبر من المد فهو يساوي 4 أمداد، والوسق ويساوي 60 مدا عند العرب. وليس لها وجود في البلدان الإسلامية الأخرى عدا المغرب العربي، حيث لا يزال الصاع بقيم مختلفة. وقد لقي الوزن القياسي البغدادي قبولا عاما بتأثير انتشار الحكم العباسي وسيادته. ورغم كون الاختلاف هو السمة المميزة في الموازين فقد حاول المسلمون إيجاد أسس نظرية عامة للموازين، واهتم بها خاصة علماء علم المساحة والرياضيات.
وفي عهد الرسول كانت وحدات العراق معروفة في الجزيرة العربية، فعرف الرطل في مكة وعمان واليمن وعرف بالرطل البغدادي. وأكثر المعلومات توفرا عن وحدات الأوزان والحجوم في مصر والشام. فالبنسبة للأوزان الخفيفة كان الرطل هو وحدة القياس في سوريا، وعرف كذلك الرطل الثقيل. أما الحبوب ففي الشام كانت تقدر بالغرارة التي تختلف من بلد إلى بلد. وفي مصر كان الرطل هو الوحدة الأساسية في القياس في عهد الأمويين والعباسيين، وعرف أيضا بالرطل الكبير منذ عهد الأمويين. أما في عهد الفاطميين فقد اختلفت قيمة الرطل تبعا لنوع السلعة الموزونة فمثلا بالنسبة للحم والعيش كان يساوي 444 جراما. أما القطن فكان الرطل فيه يساوي 463 إلخ. وكانت الحجوم في مصر تقدر بالإردب وهو في الأصل كلمة فارسية وكذلك التليس. واستخدم أيضا القسط لزيت الزيتون، وكذلك "مطر" ويساوي 17 كجم لزيت الزيتون. وهكذا نلاحظ اختلاف قيمة الوحدة بين دولة وأخرى بل اختلافها داخل القطر الواحد.

القطع المكافئ

      حساب التفاضل والتكامل من الرياضة العالية في العصر الحديث، وأشهر أنواع الطرق التقدمية في الرياضة العالية، وهي طريقة تستخدم مجموعة من الرموز الخاصة بها لحل المسائل المختلفة. وحساب التفاضل والتكامل يمدنا بالوسائل لحساب معدل تغير دالة بالنسبة إلى تغيرها المطلق. ويمكن الوصول إلى ذلك إذا عرفنا الزيادة في المتغير المطلق وما يقابلها من زيادة في قيمة الدالة. وكلما اعتبرنا الزيادة في التغير المطلق قريبة من الصفر، فإن النسبة بين الدالة وزيادة المتغير المطلق تقترب من قيمة معينة تسمى مشتق الدالة. وهذه القيمة هي معدل تغير الدالة إلى تغيرها المطلق.
       وبطريقة حساب التفاضل والتكامل هذه أمكن الحصول على قوانين رياضية لمشتقات مختلف الدوال الشائعة. ومشتقات الدوال الناتجة يمكن استعمالها لمعرفة المماسات والنهايات الكبرى من خواص الدالة المذكورة.
       وحساب التكامل طريقته عكس طريقة حساب التفاضل، ففي التكامل نبدأ بمشتق الدالة ونحاول الوصول منها إلى الدالة نفسها، ويعتبر حساب التكامل ذا فائدة كبيرة في حساب مساحات الأشكال غير المنتظمة، والأحجام وغيرها.
       وقد جاء في كتاب "تاريخ الرياضيات" للعالم سميث هذا النص: يتعسر أن نحدد بتأكيد إلى من يرجع الفضل في العصور الحديثة في عمل أول شيء جدير بالاعتبار في حساب التفاضل والتكامل ولكن في استطاعتنا أن نقول إن العالم "ستيفن" يستحق أن يحل محلا هاما من الاعتبار، وخاصة في تناوله موضوع إيجاد مركز الثقل لأشكال هندسية مختلفة. وقد وجد علماء آخرون في القرون المتوسطة حلوا مسائل في إيجاد المساحات والحجوم بطرق يتبين منها تأثير نظرية إفناء الفرق اليونانية على يد هؤلاء العلماء. وهذه الطريقة تنم نوعا ما عن طريقة التفاضل والتكامل.
      ومن هؤلاء العلماء يجدر بنا أن نذكر ثابت بن قرة الذي أوجد حجم الجسم المتولد من دوران القطع المكافئ حول محوره". وتقول هذه النظرية إنه إذا ضوعف عدد أضلاع المضلع المنتظم، المرسوم بين محيطين أو مساحتين، إلى ما لا نهاية، صغُر الفرق تدريجيا بين الأضلاع كلما اقترب من المركز، واقترب من الصفر حتى يفنى.
وقد كان العالم الرياضي العربي ثابت بن قرة الذي عاش في القرن الثالث الهجري / التاسع الميلادي، من الذين مهدوا لإيجاد علم التفاضل والتكامل وهو علم يجم ع بين الحساب والجبر والهندسة. وكان ذلك حين أوجد "حجم الجسم المتولد من دوران القطع المكافئ حول محوره"، وحين حل معادلة من معادلات الدرجة الثالثة بطريقة هندسية وذلك في كتابه: مدخل إلى كتاب إقليدس ويخص هذا الحل المعادلة التالية: س3+أ2ب = ج س2
      وكان حله لهذه المعادلة بإيجاد قيمة س لنقطة تقاطع المنحنى س2 = أ ص (قطع مكافئ) والمنحنى ص = أ ب (قطع زائد).    وهذه الحالة الخاصة لتلك المعادلة أولاها كل من العالمين: ابن الهيثم ، و عمر الخيام عناية خاصة. ولولا نتاج هذا العلم والتسهيلات التي أوجدها في حلول كثيرة من المسائل العويصة والملتوية، لما كان بالإمكان الاستفادة من بعض القوانين الطبيعية، واستغلالها لخير الإنسانية.
     ومن الذين مهدوا لحساب التفاضل والتكامل من بعد ثابت بن قرة العالم الرياضي البوزجاني ، والعالم الرياضي بهاء الدين العاملي
        ومن بعد العلماء العرب الذين مهدوا لحساب التفاضل والتكامل يأتي العالم الغربي إسحق نيوتن الذي بلغ بهذا العلم ذروته وكماله الرياضيين في القرن الحادي عشر الهجري / السابع عشر الميلادي، حين قدم عديدا من الدالات على مسلسلات لا نهائية في قدرات (س) . ومن ثم توصل نيوتن إلى متسلسلة الجيب (س) ومتسلسلة مماثلة الجيب التمام (س) وظا (س) .
ومع اختراع حساب التفاضل والتكامل الذي مهد له العلماء العرب، أعيد النظر في تحليل الدوال المثلثية، وما تزال هذه الدوال تلعب دورا هاما في كل من الرياضيات البحتة والتطبيقية.
ومن العلماء الغربيين الذين بحثوا في حساب التفاضل والتكامل العالم الأسكتلندي "جورج بول" (1231 -1281هـ / 1815 -1864م) الذي مهد بمنطقه الرياضي لعمل الحاسوب. ومن أهم المصطلحات التي ارتبطت بحساب التفاضل وتكامل:
القطع المكافئ
          منحنى مستو يكون بعد أي نقطة عليه من نقطة ثابتة (البؤرة) في المستوى مساويا لبعدها عن خط ثابت (الدليل) . وهو أيضا القطاع المخروطي الناتج من تقاطع مستو مواز لأحد رواسم المخروط مع السطح المخروطي.
ويطلق على الخط المار بالبؤرة عموديا على الدليل اسم محور القطع المكافئ. وهو يقطع المنحنى عند الرأس. أما الوتر المار بالبؤرة عموديا على المحور فيسمى "الوتر البؤري العمودي" ومن أمثلة وجود هذا المنحنى المسار الذي تسلكه قذيفة أطلقت في اتجاه غير رأسي.
قطع زائد
          منحن ى مستو الفرق فيه -بين بعدي أي نقطة عليه عن نقطتي البؤرتين الثابتتين- ثابت لجميع نقط المنحنى. ويقع مركز القطع الزائد في منتصف المسافة بين البؤرتين.
أما المحور الرئيسي فهو الخط المستقيم المار بالبؤرتين. ويتقاطع هذا المحور مع المنحنى عند الرأسين. والمحور المستعرض هو الخط المستقيم الواصل بين الرأسين. ويطلق اسم الوتر البؤري على الوتر المار بإحدى البؤرتين عموديا على المحور الرئيسي. والخطوط المتقاربة هي مستقيمات في نفس المستوى، يقترب منها المنحنى عند الما لا نهاية.
ويطلق اسم القطع الزائد المتساوي الجوانب على الخطوط التقاربية المتعامدة، ومن أمثلة حدوث القطع الزائد في الطبيعة مسارات بعض الشهب.
قطع ناقص (إهليلج)
      منحنى متوسط مقفل يكون فيه مجموع بعدي أي نقطة عليه من نقطتين ثابتتين في المستوى ثابتة لجميع النقط الواقعة على المنحنى.
ويمكن تعريفه أيضا بأنه القطاع المخروطي الناتج من تقاطع مستو مع جميع رواسم المخروط (الدائرة حالة خاصة) . ويقع مركز القطع الناقص في منتصف المسافة بين البؤرتين. ويطلق اسم المحور الأكبر على الوتر المار بين بؤرتين، ويطلق اسم المحور الأصغر على الوتر العمودي عليه مارا بالمركز. أما الرأسان فهما نقطتا تقاطع المحور الأكبر مع المنحنى، ومن أمثلة وجود القطع الناقص في الطبيعة مسارات الكواكب.
 

         عملية الجمع الحسابية هي أول وأبسط العمليات الحسابية، وهي عملية تقوم على ضم العناصر المتشابهة إلى بعضها البعض. وعلى هذه العملية تعتمد كل العمليات الحسابية الأساسية الأخرى من طرح وضرب وقسمة. وقد عرفت الحضارات القديمة كلها هذه العملية الأساسية أول ما عرفت من عمليات الحساب ثم ارتقى منها أهل هذه الحضارات إلى ما فوقها من عمليات الحساب.
وقد عرف العلماء المسلمون حصاد الأمم القديمة في العمليات الحسابية بدءا من عملية الجمع وطرائقها وأضافوا إليها. ومن أبرز الطرق التي ابتكرها المسلمون ثلاث طرق وهي: طريقة الجمعبالمحفوظات، وطريقة التحقيق، وطريقة جمع أرقام الأعمدة الرأسية منفصلة عن بعضها البعض.
أما الطريقة الأولى وهي طريقة الجمع بالمحفوظات فتعتمد على جمع أعمدة الأرقام الحسابية الرأسية آحادا فعشرات فمئات فألوفا، ونقل كل محفوظ زائد من جمع عمود الآحاد لأنه يمثل عشرة إلى عمود العشرات، وهكذا إلى أعمدة المئات فالآلاف. وتتضح طريقة الجمع بالمحفوظات في المثال التالي: 3772 + 54876 + 3405
ونتبع الخطوات التالية:
آحاد-عشرات-مئات-ألوف-عشرات الألوف
2 - 7 - 7 - 3 - 0
6 - 7 - 8 - 4 - 5
5 - 0 - 4 - 3 - 0
0 - 1 - 1 - 2 - 1 المحفوظات
------------------------------------------------
3 - 5 - 0 - 2 - 6 المجموع
وقد اتبع بعض العلماء المسلمين وضع المحفوظات أعلى الأرقام المجموعة.
أما الطريقة الثانية التي ابتكرها العلماء المسلمون في الجمع وهي طريقة التحقيق، فهي طريقة يكتب فيها المجموع أعلى الأعداد، ثم يستخدم مجموع أرقام كل عمود أفقي لتحقيق صحة النتائج. ولتوضيح طريقة التحقيق في الجمع، نجمع العددين: 5687 + 2343 ، وتتبع الخطوات التالية:

 

والعمود الأخير الرأسي يوضح طريقة التحقيق بجمع أرقام كل عدد:
بالنسبة للعدد 5687 يكون: ( 7+8+6+5 = 26 ) ، و ( 6 +2 = 8 )
وبالنسبة للعدد 2343 يكون: ( 3+3+3+2 = 12 ) ، و ( 2+1 = 3 )
ونجمع ( 8+3 = 11 ) ، و ( 1+1 = 2 )
وبجمع أرقام المجموع وهو: 8030 يكون ( 0+3+0+8=11 ) ، و ( 1+1 =2 ) وهو ما يتفق مع مجموع أرقام العددين. وقد أشار بعض العلماء المسلمين إلى أن هناك نسبة ضئيلة محتلة للخطأ في عملية التحقيق.
والطريقة الثالثة هي طريقة جمع الأعمدة المنفصلة، فتكون بجمع كل عمود رأسي منفصلا في سطر أفقي ثم نجمع المجاميع، وفي هذه الطريقة كانوا يكتبون الأعداد الأكبر في الأعلى ثم الأقل، وكذلك كانوا يضعون نقطا في الخانات لبيان عملية الحمل من خانة إلى أخرى، والمثال التالي يبين خطوات عملية الجمع بالأعمدة المنفصلة، وهو جمع ( 8379+986+34 ) ، موضحا بالجدول الآتي:

 
 
 

         علم المساحة اسم يطلقه العرب على العلم المختص بالقياس وبالهندستين المستوية والفراغية، وهو بمعناه الواسع يشمل قياس كل ما يمكن أو يلزم قياسه، وبصفة خاصة الأطوال والمساحات والحجوم والأوزان والأعداد، ومن ثم فهو يختلف عن الجيوديسيا وهو علم دراسة شكل الأرض وقياس سطحها الذي تناوله المسلمون فى كتابات مستقلة .
والتعريفات التي وضعها المسلمون لعلم المساحة تتباين كثيرا، فمنها ما هو واسع مثل تعريف العُماوي: " قياس يعتمد على تقدير كمية مجهولة بمقارنتها بكمية معلومة بوحدات معينة". وإن كانت أغلب التعاريف تحصر معنى علم المساحة في قياس الأطوال والمساحات والحجوم. ونجد الرسائل المختصة بالهندسة تتوالى طوال الفترة التي قام فيها المسلمون بدور ناقلي الثقافة القديمة ( من بداية القرن الثالث الهجري / القرن التاسع الميلادي، إلى أفول نجم الرياضيات العربية في القرن السابع الميلادي / القرن السادس عشر الميلادي ). وكان الغرض من هذه الأعمال تزويد المعماريين والجنود والمساحيين بالوسائل المناسبة، والأرضية النظرية لأعمالهم. ويمكن تمييز ثلاث مجموعات من هذه الرسائل تبعا للأساليب التي تتبعها في المعالجة :
أ - رسائل شبيهة إلى حد كبير بما لدينا من قوانين رياضية. وهي مختصرة بقدر الإمكان، وتوضح طريقة الحساب دون تقديم أمثلة، ومن أمثلتها رسالة ابن البناء .
ب - رسائل تشتمل على أمثلة محلولة بالكامل .
جـ- رسائل تشتمل فقط على سلاسل من المسائل المحلولة بالكامل، وهي عبارة عن ضرب من كراسات التمارين .
وفيما يتعلق بطريقة العرض في تلك الأعمال لا يسعنا الحديث عن قوانين رياضية بالمعنى المعروف الآن، فلم تعرف صياغة قوانين الرياضة بهذا الأسلوب إلا في عصر متأخر وبين العرب المغاربة، بل ربما كان ذلك في مجال الجبر فقط. فقواعد حساب المساحات كانت تكتب بالكلمات بما في ذلك أحيانا الأشكال الواردة بالنص. وكانت الأعمال المختصة بعلم المساحة - وخصوصا الكبيرة منها - تشتمل على ما يلي :
أولا: مدخل الكتاب، ويشمل التعريف بالعلم وشرح الأشكال الهندسية وتصنيفها والتعريف بالوحدات المستخدمة في القياس.
ثانيا: قواعد الحساب للسطوح المساوية كالأشكال الرباعية ( المربع والمستطيل ومتوازى الأضلاع إلخ )، والمثلثات بأنواعها، وعديدات الأضلاع، والدائرة وأجزائها. وكذلك الأجسام الفراغية ( كالمنشور والأسطوانة )، والأجسام الهرمية والمخاريط ، والكرة. وغير ذلك من الأجسام المنتظمة وشبه المنتظمة .
ثالثا: أمثلة عملية، وهذه كانت بصفة عامة نادرة الورود في الأعمال الخاصة بالمساحة وكثيرا ما نجد تمارين على تقسيم الحقول مصاغة على نمط أعمال إقليدس وهيرو ، وتمارين على تقسيم الحقول الواقعة على المنحدرات، وعلى القمم والارتفاعات والأجسام المجوفة، وللحنبلي بعض التمارين الخاصة بالموضوع غير الميسور قياسها كقاع البئر وعرض النهر. ومن المسائل الأخرى المطروقة حساب مقدار الأحجار أو الطوب اللازم لبناء منزل أو سقف وتحديد ارتفاع حائط .
ومن هذه الأعمال ما يعد مرجعا شاملا كأعمال الحنبلي والركاشي و التبريزي في رسالته: القواعد في علم المساحة ، ومنها ما هو مختصر للغاية حتى أنه غالبا يتناول جوانب فقط من الموضوع. وطرق حساب الحجوم هي نفسها ما نجده عند الإغريق والمصريين، وفي حالات أخرى تكون طرق الحساب مستنبطة بطريقة استقرائية وتجريبية فللكرجي مثلا طريقة لحساب حجم الكرة استنبطها من مقارنة وزن مكعب من الشمع بوزن كرة منه صنعت من هذا المكعب، وقطرها مساو لطول ضلعه. ومن الجلي أن مثل هذه الطرق لابد أن تؤدي إلى نتائج تقريبية وقوانين قائمة على التقريب، وتلك هي طبيعة الهندسة العملية .
وسبب بقاء هذه القواعد ( العلمية ) طويلا أنها توفي بحاجات المستخدمين العمليين الذين كانوا بحاجة إلى قيم سهلة الحساب لا إلى دقة رياضية فائقة. ولأسباب مشابهة - وتمشيا مع الممارسات التقليدية - لم تكن كل الأعمال المختصة بالمساحة تقريبا تقدم أية براهين هندسية علمية على درجات دقة القوانين التي تستخدمها .